2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题深度解析：药材的烘干问题附Matlab代码

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🔥 内容介绍

干燥是决定中药材成品品质的关键工序之一，其中热风烘干是一种常见的干燥方式。该方式主要包括预热平衡和恒温干燥两个阶段，通过调控烘房温湿环境，完成药材的干燥。在中药材烘干过程中，工艺参数选取不当容易导致干燥效率低、能耗高、成品品质不稳定等问题。而传统的试验优化模式存在成本高、周期长等问题，亟需借助数理分析与数值仿真的方法得到干燥规律。

题目给定某中药材形状大致呈圆柱形，长为 25 cm 25\,\text{cm}25cm，半径为 2 cm 2\,\text{cm}2cm。烘干开始时，药材的温度为 28 ∘ C 28^\circ\text{C}28

∘

C，水分浓度（即干基含水率）为 2.55 kg/kg 2.55\,\text{kg/kg}2.55kg/kg，烘房的温度和水分浓度变化情况见附件 1，药材半径变化见附件 2。

1.2 问题分析

问题 1 要求建立预热平衡阶段药材温度和水分浓度变化规律的数学模型，相关参数见附录 2，并给出特定时空点的结果，保存到 result1.xlsx。

问题 2 要求建立整个烘干过程（预热平衡 + 恒温干燥）药材温度和水分浓度变化规律的数学模型，相关经验公式统一采用附录 3，给出 3 h 内每隔 0.5 h 的结果，保存到 result2.xlsx。

问题 3 要求确定药材烘干所需时间，烘干要求为药材各处水分浓度低于 0.15 kg/kg 0.15\,\text{kg/kg}0.15kg/kg，给出每隔 6 h、每隔 0.5 cm 的水分浓度，保存到 result3.xlsx。

问题 4 要求考虑药材因水分流失发生的尺寸变化，根据附件 2 确定烘干时长，相关经验公式见附录 4，保存到 result4.xlsx。

四个问题的核心均是圆柱坐标系下的热-质耦合扩散问题，区别在于：

问题 1：常物性，短时间（预热平衡），环境由附件 1 驱动；

问题 2：变物性，3 h 内，环境由附件 1 外推；

问题 3：变物性，长时间（2–3 天），需终点判定；

问题 4：变物性 + 移动边界（收缩），长时间。

一、赛题核心逻辑拆解：四问同源的统一物理框架

本题本质上是一道‌从简单到复杂逐层递进的圆柱类多孔介质干燥机理建模题‌，四问并非彼此独立的孤立计算题，而是沿着“预热平衡→全周期变物性干燥→全域干燥终点判定→收缩移动边界”的技术路线，逐步引入非线性因素，最终还原药材热风烘干的完整物理过程。赛题给出的圆柱尺寸、热导率、换热系数、传质系数、扩散系数等基础参数，明确引导参赛队伍建立第一性原理驱动的机理模型，而非直接用附件数据拟合黑箱曲线；附件1的烘房环境时序数据、附件2的半径收缩数据、附录3与附录4的两套物性经验公式，分别对应不同阶段的边界条件与材料属性，全程不需要引入与物理机理无关的机器学习、智能优化类算法，扎实的守恒建模与严谨的数值实现才是冲击国一的核心竞争力。针对题目要求的“到药材中心的距离”系列输出位置，最合理的简化是将药材视为轴对称长圆柱，忽略轴向与周向的参数变化，直接将三维问题降阶为一维径向传热-传质模型，既完全匹配题目指定的0、0.5、1、1.5、2 cm等输出点位要求，又能大幅降低长期仿真的计算负担。模型仅保留温度与干基含水率两个核心状态量：温度演化由内部热传导与表面对流换热共同驱动，水分迁移由内部Fick扩散与表面对流传质共同决定；中心位置利用圆柱对称性设置零通量边界，药材表面直接与烘房热风完成热量与水分的双向交换。数值求解统一采用‌一维圆柱坐标有限体积法+隐式自适应时间推进‌的技术路线：有限体积法天然满足物理守恒特性，可自然处理圆柱坐标中心的形式奇点，同时能非常便捷地实现变物性条件下相邻控制体的通量调和平均，完全适配四问从简单到复杂的所有建模需求。整套程序采用模块化架构设计，划分为环境边界模块、材料物性模块、几何网格模块、传热传质求解模块、干燥终点判定模块、结果输出模块六大独立单元，四问仅需替换对应模块的参数与逻辑，无需重构整体框架，保证四问模型的继承性与结果的自洽性。

二、问题一：固定尺寸下预热阶段的常物性传热-传质建模

本问聚焦0~1800s的预热平衡过程，核心目标是还原热风进入烘房后，药材从初始均匀温湿状态逐步向热平衡过渡的时空演化规律，热传导部分采用常物性假设，仅水分扩散系数随当地含水率动态变化，保留基础非线性特性。

核心建模与求解流程

1. 数据预处理：读入附件1的烘房温度、环境水分浓度离散时序数据，完成时间顺序校验与缺失值补全，全部物理量统一转换为SI国际单位制，采用分段线性插值生成烘房环境参数随时间的连续函数，避免高阶多项式插值带来的非物理超调。

2. 网格初始化：将0~2cm的径向区域划分为至少100个同心圆柱控制体，远细于题目要求的0.1cm输出网格，所有节点初始化为28℃、干基含水率2.55kg/kg的均匀初始状态。

3. 迭代推进：每一个时间步根据当前节点的局部含水率更新水分扩散系数，依次计算内部导热通量、内部水分扩散通量、表面对流换热量、表面对流传质通量，通过隐式时间格式完成状态更新。

4. 结果提取：仿真完成后，将全时空场插值映射到题目指定的100s、300s、600s、900s、1200s、1500s、1800s六个时刻，以及0、0.5、1、1.5、2cm五个径向位置，生成对应结果表格。

论文核心分析要点

正文重点阐释三个物理规律：一是预热阶段药材表面温度响应速度远快于中心，不同径向位置的温差随时间逐步缩小的演化过程；二是水分迁移方向与热量传导相反，表面含水率下降速率显著高于中心，径向含水率梯度逐步建立的机理；三是1800s时刻系统的热平衡接近程度，明确预热阶段的结束标志。本问必须完成基础的‌网格无关性验证‌：分别采用50、100、200个控制体完成仿真，对比关键位置的温湿曲线，当100网格与200网格的结果偏差小于1%时，即可证明数值结果已摆脱空间离散尺度的影响。

三、问题二：全周期烘干过程的非线性变物性建模

本问将仿真范围从1800s扩展到完整烘干周期，核心难点并非计算时长的延长，而是将密度、比热容、导热系数全部设置为当地含水率的函数，同时水分扩散系数同时受局部含水率与绝对温度的双重影响，实现全非线性变物性传热-传质求解。

核心建模关键细节

1. 边界条件延续策略：附件1仅覆盖烘干初期时段，结合赛题明确的“预热平衡+恒温干燥”两阶段划分规则，采用“附件1数据覆盖区间内使用真实时变环境，超出附件时间范围后沿用附件1最后时刻的稳定状态作为恒温边界”的处理方式，该假设需在论文中明确说明，不可隐含在代码逻辑中。

2. 变物性动态更新：每一个时间步推进前，根据所有控制体当前的局部温度与含水率，重新计算该节点的密度、比热容、导热系数、水分扩散系数，绝对禁止仅在初始时刻计算一次物性后全程固定的错误操作；同时严格检查扩散系数经验公式的温度单位，将摄氏温度统一转换为开尔文温度后再代入指数项，避免出现数量级级别的计算错误。

3. 界面通量处理：相邻控制体的材料参数存在差异时，控制体界面的导热系数与扩散系数全部采用调和平均计算，保证热量与水分的跨界面通量连续，比直接取单侧节点参数的处理方式数值稳定性更强。本问全程保持药材半径固定为2cm，不提前引入附件2的半径收缩数据，为后续问题三、问题四的对照分析保留基准工况，最终输出0.5h、1.0h、1.5h、2.0h、2.5h、3.0h六个时刻的指定位置温湿结果，生成完整的result2.xlsx文件。

论文核心分析要点

正文重点阐释三个深层机理：一是系统温度场达到准稳态所需的时间尺度，对比热量传导与水分迁移的传播速度差异，明确水分扩散是烘干过程的慢变量；二是随着含水率持续下降，热物性与扩散系数的动态变化如何改变后期干燥速率，解释干燥曲线出现降速段的底层物理机制，避免仅停留在“温度上升、含水率下降”的表层描述。

四、问题三：全域含水率达标的干燥终点判定

本问完全继承问题二的变物性模型框架，无需重构新的物理模型，仅新增严格的全域干燥终点判据，确定药材所有位置的干基含水率均低于0.15kg/kg的准确时刻。

核心建模关键细节

本问最核心的避坑点是‌绝对不能使用平均含水率作为终点判定依据‌：若仅以全域平均含水率低于0.15kg/kg作为停止条件，极有可能出现表面含水率远低于阈值、但中心区域含水率仍未达标的“伪合格”情况，完全违背题目“药材各处水分浓度均低于0.15kg/kg”的明确要求。正确的判定逻辑为：每完成一个时间步的状态更新后，扫描所有径向控制体的干基含水率，提取全域最大值，只要该最大值仍高于0.15kg/kg就继续推进仿真；当全域最大含水率第一次低于0.15kg/kg时，该时刻即为准确的烘干结束时间。仿真完成后再回溯验证最终的“最慢干燥位置”，无需提前人为假定中心位置就是最后达标的区域。程序逻辑中注意三个时间尺度的区分：求解器内部采用自适应变时间步长保证计算效率与精度，每60s输出一次全空间结果写入result3.xlsx，每6h提取指定点位的含水率生成正文展示表格，无需为了迎合输出间隔强行统一求解步长。

论文核心分析要点

正文明确给出最终烘干总时长、全域最后达标的控制位置，以及烘干结束时刻不同径向位置的剩余含水率分布差异，清晰展示药材内部的干燥不均匀程度。

五、问题四：考虑半径收缩的移动边界建模

本问是整道赛题最容易拉开差距的核心环节，绝大多数队伍的常见错误是直接将固定网格中的半径参数替换为随时间变化的数值，忽略药材收缩后原固定空间网格的外层节点已经落在药材实体之外的物理事实，并非真正的移动边界模型。

核心建模实现方案

采用‌归一化材料坐标法‌实现移动边界求解：将以UPA基站为原点的物理空间，转换为以药材中心为原点的无量纲材料空间，将中心位置固定为0，将当前时刻的药材表面位置固定为1，任意材料点的实际物理径向坐标等于“无量纲相对位置×当前时刻药材实际半径”。这样整个计算域在仿真全程始终保持在0~1的固定区间内，所有网格节点随药材材料同步向中心收缩，完美适配动态边界的演化过程。针对附件2给出的离散半径时序数据，采用PCHIP保形插值生成连续的半径变化函数，既可以严格保证半径随烘干时间单调下降的物理趋势，又能避免普通高阶样条插值可能出现的虚假局部上升问题。每一个时间步同步更新三类变量：当前时刻的药材实际半径、所有无量纲节点对应的真实物理径向距离、基于附录4全新经验公式计算的全套变物性参数。

国一专属消融对照设计

为了区分“物性模型更新”与“几何尺寸收缩”两个因素对烘干时间的贡献，额外补充一组对照仿真：保持附录4的全新物性参数不变，强制将药材半径固定为初始的2cm，将该对照工况的结果与本问完整模型的结果做差值，即可单独量化药材收缩带来的水分迁移距离缩短对烘干过程的加速作用；再将问题三与本问完整模型的结果做对比，即可得到物性更新+几何收缩的综合影响。这套消融分析可以直接回答“药材干燥加速的核心驱动因素到底是物性变化还是尺寸收缩”的深层科学问题，是远超常规参赛队伍的核心加分项。本问的干燥终点判定逻辑完全沿用问题三的全域最大含水率规则，输出结果时注意后期药材实际半径已经小于2cm，不再强行输出超出当前药材边界的物理点位，严格贴合题目表6“药材表面”的输出要求。

六、国奖级模型验证体系

不需要堆砌大量冗余验证，四项核心验证即可充分证明模型的严谨性与数值可靠性：

1. ‌网格收敛检验‌：采用50、100、200、400个径向控制体分别完成仿真，对比关键时刻的温湿分布曲线，确认加密网格后结果无显著变化，证明空间离散结果可信。

2. ‌时间精度检验‌：调整求解器的积分误差容限与最大允许步长，对比不同时间离散精度下问题三、问题四的最终烘干时间，确认结果偏差小于1%，证明时间离散没有对最终结论产生显著影响。

3. ‌物理合理性检验‌：全程监控所有节点的含水率非负性、预热阶段温度的合理区间、中心位置的零通量对称性、全域总水分随时间单调下降的特性，排除所有非物理的仿真结果。

4. ‌质量守恒检验‌：每一个时间步对药材内部的总水分做空间积分，计算内部水分的减少量，与该时段内药材表面的累计排湿量做差值，验证总质量守恒误差控制在0.5%以内，充分体现有限体积法的守恒优势。如果希望进一步提升模型可信度，可以额外搭建一个二维轴对称仿真模型，仅选取预热结束、干燥中期、烘干结束三个典型时刻运行，对比二维模型中部截面的结果与一维径向模型的结果偏差，定量证明一维无限长圆柱简化假设的合理性，用复杂模型验证简单模型，而非为了炫技全程使用高成本二维仿真。

七、论文避坑与组织优化

整道赛题的高频致命失分点全部可以通过严谨的建模逻辑规避：

表格

论文正文不需要将result1~result4的海量数据全部堆砌，仅围绕四问的核心问题展示关键图表：问题一展示预热阶段不同位置的温湿演化对比表，问题二展示变物性条件下的全周期温湿变化曲线，问题三展示全域最大含水率的下降轨迹与最终烘干时间，问题四展示固定半径与动态收缩工况的结果对比，最后单独设置验证小节报告四类检验的误差结果。摘要仅保留核心模型逻辑与关键最终数值，无需堆砌过多理论细节，整体形成“从简单到复杂、机理连贯、验证充分”的完整叙事链条，完全符合国赛最高等级的评审标准。

🔗 参考文献

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