已知函数
\[f(x)= \\begin{cases}
2x+3, & x \\leq 0
\\\\ 2 \\ln x, & x\\gt 0\\end{cases},\]
若 \(x_{2}=x_{1}+a \\neq x_{1}\) ,且 \(f(x_{1})=f(x_{2})\),则 \(a\) 的取值范围是 \(\\underline{\\qquad\\qquad}\)
答案： \((-\\infty,-\\dfrac{5}{2}] \\cup[\\dfrac{5}{2},+\\infty)\)
解析：
\(x\\le0\) 时,\(f(x)=2x+3\) 单调递增,值域 \((-\\infty,3]\)；
\(x\\gt 0\) 时,\(f(x)=2\\ln x\) 单调递增,值域 \(\\mathbb R\).
若 \(f(x_1)=f(x_2)\),必然一个 \(\\le0\),一个 \(\\gt 0\).不妨设 \(x_1\\le0\\lt x_2\),令 \(f(x_1)=f(x_2)=t,t\\le3\).
\[x_1=\\dfrac{t-3}{2},\\quad x_2=e^{\\frac{t}{2}},\\quad a=x_2-x_1=e^{\\frac{t}{2}}-\\dfrac{t-3}{2}.$$记
$$g(t)=e^{\\frac{t}{2}}-\\dfrac{t-3}{2},\\quad t\\le 3,\\quad g'(t)=\\dfrac12 e^{\\frac t2}-\\dfrac12.$$ $t\\lt 0$,$g'(t)\\lt 0$；$0\\lt t\\le3$,$g'(t)\\gt 0$.$g(t)_{\\min}=g(0)=\\dfrac52$.
故 $a\\ge \\dfrac52$；同理 $a\\lt 0$ 时,$a\\le -\\dfrac52$.
综上：$a\\in(-\\infty,-\\dfrac52]\\cup[\\dfrac52,+\\infty)$.> 来源：炎德英才2027届高三入学考试\]