每日一题 2026-11-06

已知集合 \(A=\{1,2,3,4\}\), 若 \(f(x)\) 是 \(A \to A\) 的函数, 且满足 \(f[f(x)]=1\), 则函数 \(f(x)\) 的个数是

答案： B

解析：

情况一：值域中只有一个元素\(1\), 即值域为 \(\{1\}\), 对 \(\forall x \in A\), \(f(x)=1\), 只有\(1\) 个函数符合题意;

情况二：值域中有两个元素, 即值域为 \(\{1, a\}\), \(a=2,3,4\), \(f(1)=1\), \(f(a)=1\), 其余两个不属于 \(\{1, a\}\) 的元素, 其函数值只能在 \(\{1, a\}\) 中选, 且至少有一个是 \(a\), 有 \(2^{2}-1=3\) 种情况, 所以符合题意的函数有 \(3 \times 3=9\) 个;

情况三：值域中有三个或三个以上元素, 假设值域 \(\{1, a, b\}\), 满足 \(f(a)=1\), \(f(b)=1\), \(f(1)=1\), 剩余一个元素不可能同时取到 \(a\) 和 \(b\) 两个函数值, 矛盾; 综上所述, 满足题意的 \(f(x)\) 一共有 \(1+9=10\) 个.

来源：浙江强基联盟10月题库