已知函数\(f(x)=\left(x-\dfrac{1}{\ln a}\right)\cdot a^x-\dfrac{1}{3}\mathrm{e}x^3(a>0\text{且}a\neq 1)\), 存在三个极值点\(x_1, x_2, x_3(x_1, 若\(x_2\)是极小值点, 则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\qquad\qquad}\).
答案： \(\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}},1\right]\)
解析：
\[f^{\prime}(x)=a^x+\left(x-\dfrac{1}{\ln a}\right)a^x\ln a-\mathrm{e}x^2=x(a^x\ln a-\mathrm{e}x),
\]
不难得到\(f^{\prime}(0)=0\).
Case1 若\(a> 1,\)则作出\(a^x\ln a\)的图像, 单调递增, 在给出\(y=\mathrm{e}x\), 假设的的确确有两个交点, 如图: 因\(f^{\prime}(0)=0\), 且\(x_1< x_2< x_3\), 则从\(x_1=0, x_2, x_3\)按如图排列.在\(x\in(x_1, x_2)\)时, \(x> 0, a^x\ln a-\mathrm{e}>0\)
\[f^{\prime}(x)=x(a^x\ln a-\mathrm{e}x)>0,
\]
从而\(x=x_2\)是\(f(x)\)的极大值点, 矛盾！
设切点为\((x_0, y_0), y=a^x\ln a\)的导数为\(a^x\ln^2a\), 则有
\[\begin{cases} a^{x_0}\ln^2 a=\mathrm{e}\\ \mathrm{e}x_0=a^{x_0}\ln a \end{cases}\Longrightarrow x_0a^{x_0}\ln^2 a=\mathrm{e}x_0=a^{x_0}\ln a,
\]
得$$x_0\ln a=1\Longrightarrow \ln a^{x_0}=1\Longrightarrow a^{x_0}=\mathrm{e}, $$ 代入第一个方程有
\[\mathrm{e}\ln^2a=\mathrm{e}\Longrightarrow \ln^2a=1\Longrightarrow a=\dfrac{1}{\mathrm{e}}, \mathrm{e}(\text{舍}).
\]
从而\(a\in\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}}, 1\right].\)
来源：重庆巴中高二期末