抛物线\(y=x^2\)上有\(A\),\(B\),\(C\)三个点,满足\(AB\perp BC\),且直线\(AC\)的倾斜角为\(0\),若\(\triangle ABC\)的内切圆的直径为\(2\sqrt{6}-4\),则\(OB^2=\)\(\underline{\qquad\qquad}\)

答案： \(12\)

解析：

设\(A(a,a^2)\),\(C(-a,a^2)\),\(B(b,b^2)\).由\(AB\perp BC\)得\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\),

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(a-b)(-a-b)+(a^2-b^2)^2=0, \]

因为\(a\neq b\),所以得\(a^2-b^2=1\).

取\(a> 0\),则三角形面积\(S=\dfrac{1}{2}\times2a\times(a^2-b^2)=a\),内切圆半径\(r=\sqrt{6}-2\).

设\(s\)为周长的一半,由\(S=rs\)得半周长\(s=\dfrac{a}{\sqrt{6}-2}=\dfrac{a(\sqrt{6}+2)}{2}\).

又\(|AC|=2a\),故\(|AB|+|BC|=2s-2a=a\sqrt{6}\).

令\(t=a+b\),\(u=a-b\),则因为\(a^2-b^2=1\),所以\(tu=1\),\(a=\dfrac{t+\dfrac{1}{t}}{2}\),

\[|AB|=\sqrt{(a-b)^2+(a^2-b^2)^2}=\sqrt{u^2+1}=\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t}. \]

代入\(|AB|+|BC|=a\sqrt{6}\)得

\[\sqrt{t^2+1}+\dfrac{\sqrt{t^2+1}}{t}=\dfrac{t+\dfrac{1}{t}}{2}\cdot\sqrt{6}, \]

化简得\(t^2-4t+1=0\),解得\(t+\dfrac{1}{t}=4\),故\(a=2\),从而\(b^2=a^2-1=3\). 所以\(OB^2=b^2+(b^2)^2=3+9=12\).

来源：江苏五校4月联考